1、引言

　　ANSYS程序最常見(jiàn)的優(yōu)化算法有零階方法，一階方法，隨機(jī)搜索法，等步長(zhǎng)搜索法，乘子計(jì)算法和最優(yōu)梯度法。本篇僅作簡(jiǎn)單描述，更多的細(xì)節(jié)參見(jiàn)ANSYS Theory Reference chapter 20。要想深刻的了解這些算法，需要具有一定數(shù)學(xué)知識(shí)，并有一定的興趣愛(ài)好才能精下心了好好的理解和學(xué)習(xí)這一部分的理論性內(nèi)容，但這也是快速提升自己水平的好途徑。

　　2、優(yōu)化算法簡(jiǎn)介

　　2.1 零介方法

　　零階方法之所以稱(chēng)為零階方法是由于它只用到因變量而不用到它的偏導(dǎo)數(shù)。在零階方法中有兩個(gè)重要的概念：

　　1)目標(biāo)函數(shù)和狀態(tài)變量的逼近方法;

　　2)由約束的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為非約束的優(yōu)化問(wèn)題。

　　逼近方法是指程序用曲線擬合來(lái)建立目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計(jì)變量之間的關(guān)系。這是通過(guò)用幾個(gè)設(shè)計(jì)變量序列計(jì)算目標(biāo)函數(shù)然后求得各數(shù)據(jù)點(diǎn)間最小平方實(shí)現(xiàn)的。該結(jié)果曲線(或平面)叫做逼近。每次優(yōu)化循環(huán)生成一個(gè)新的數(shù)據(jù)點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)就完成一次更新。實(shí)際上是逼近被求解最小值而并非目標(biāo)函數(shù)。狀態(tài)變量也是同樣處理的。每個(gè)狀態(tài)變量都生成一個(gè)逼近并在每次循環(huán)后更新。用戶可以控制優(yōu)化近似的逼近曲線。可以指定線性擬合，平方擬合或平方差擬合。缺省情況下，用平方差擬合目標(biāo)函數(shù)，用平方擬合狀態(tài)變量。用下列方法實(shí)現(xiàn)該控制功能：

　　Command: OPEQN

　　GUI: Main Menu>Design Opt>Method/Tool

　　轉(zhuǎn)換為非約束問(wèn)題的原因是狀態(tài)變量和設(shè)計(jì)變量的數(shù)值范圍約束了設(shè)計(jì)，優(yōu)化問(wèn)題就成為約束的優(yōu)化問(wèn)題。ANSYS程序?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為非約束問(wèn)題，因?yàn)楹笳叩淖钚』椒ū惹罢吒行省＾D(zhuǎn)換的實(shí)現(xiàn)方法是通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)逼近加罰函數(shù)的方法計(jì)入所加約束的。

　　收斂檢查：前面的或最佳設(shè)計(jì)是合理的而且滿足下列條件之一時(shí)，問(wèn)題就是收斂的：

　　1)目標(biāo)函數(shù)值由最佳合理設(shè)計(jì)到當(dāng)前設(shè)計(jì)的變化應(yīng)小于目標(biāo)函數(shù)允差。

　　2)最后兩個(gè)設(shè)計(jì)之間的差值應(yīng)小于目標(biāo)函數(shù)允差。

　　3)從當(dāng)前設(shè)計(jì)到最佳合理設(shè)計(jì)所有設(shè)計(jì)變量的變化值應(yīng)小于各自的允差。

　　4)最后兩個(gè)設(shè)計(jì)所有設(shè)計(jì)變量的變化值應(yīng)小于各自的允差。

　　但收斂并不代表實(shí)際的最小值已經(jīng)得到了，只說(shuō)明以上四個(gè)準(zhǔn)則之一滿足了。因此，用戶必須確定當(dāng)前設(shè)計(jì)優(yōu)化的結(jié)果是否足夠。如果不足的話，就要另外做附加的優(yōu)化分析。

　　對(duì)于零階方法，優(yōu)化處理器開(kāi)始通過(guò)隨機(jī)搜索建立狀態(tài)變量和目標(biāo)函數(shù)的逼近。由于是隨機(jī)搜索，收斂的速度可能很慢。用戶有時(shí)可以通過(guò)給出多個(gè)合理的起始設(shè)計(jì)來(lái)加速收斂。只簡(jiǎn)單的運(yùn)行一系列的隨機(jī)搜索并刪除所有不合理的設(shè)計(jì)。也可以運(yùn)行多次單獨(dú)的循環(huán)，并在每次運(yùn)行前指定新的設(shè)計(jì)變量序列來(lái)生成起始設(shè)計(jì)序列。

　　2.2 一階方法

　　一階方法同零階方法一樣，一階方法通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)添加罰函數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為非約束的。但是，與零階方法不同的是，一階方法將真實(shí)的有限元結(jié)果最小化，而不是對(duì)逼近數(shù)值進(jìn)行操作。

　　一階方法使用因變量對(duì)設(shè)計(jì)變量的偏導(dǎo)數(shù)。在每次迭代中，梯度計(jì)算(用最大斜度法或共軛方向法)確定搜索方向，并用線搜索法對(duì)非約束問(wèn)題進(jìn)行最小化。因此，每次迭代都有一系列的子迭代(其中包括搜索方向和梯度計(jì)算)組成。這就使得一次優(yōu)化迭代有多次分析循環(huán)。

　　OPFRST命令(Main Menu>Design Opt>Method/Tool)有兩個(gè)輸入域可以用來(lái)改善一階方法的收斂。用戶可以指定計(jì)算梯度的設(shè)計(jì)變量范圍變化程度，也可以指定線搜索步長(zhǎng)的范圍。一般來(lái)說(shuō)，這兩個(gè)輸入值的缺省數(shù)值就足夠了。見(jiàn)ANSYS Theory Reference。

　　一階方法在收斂或中斷時(shí)結(jié)束。當(dāng)當(dāng)前的設(shè)計(jì)序列相對(duì)于前面的和最佳序列滿足下面任意一種情況時(shí)，問(wèn)題就稱(chēng)為收斂：

　　1)目標(biāo)函數(shù)值由最佳合理設(shè)計(jì)到當(dāng)前設(shè)計(jì)的變化應(yīng)小于目標(biāo)函數(shù)允差。

　　2)從當(dāng)前設(shè)計(jì)到前面設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)的變化值應(yīng)小于允差。

　　3)同時(shí)要求最后的迭代使用最大斜度搜索，否則要進(jìn)行附加的迭代。

　　與零階方法相比，一階方法計(jì)算量大且結(jié)果精確。但是，精確度高并不能保證最佳求解。一階方法可能在不合理的設(shè)計(jì)序列上收斂。這時(shí)可能是找到了一個(gè)局部最小值，或是不存在合理設(shè)計(jì)空間。如果出現(xiàn)這種情況，可以使用零階方法，因其可以更好的研究整個(gè)設(shè)計(jì)空間。也可以先運(yùn)行隨機(jī)搜索確定合理設(shè)計(jì)空間(如果存在的話)，然后以合理設(shè)計(jì)序列為起點(diǎn)重新運(yùn)行一階方法。一階方法更容易獲得局部最小值。(見(jiàn)后面“局部和全局最小值”的說(shuō)明。)這是因?yàn)橐浑A方法從設(shè)計(jì)空間的一個(gè)序列開(kāi)始計(jì)算求解，如果起點(diǎn)很接近局部最小值的話，就會(huì)選擇該最小值而找不到全局最小值。

　　2.3 隨機(jī)搜索法

　　隨機(jī)搜索法[OPTYPE，RAND]，程序完成指定次數(shù)的分析循環(huán)，并在每次循環(huán)中使用隨機(jī)搜索變量值。用戶可以用OPRAND命令(Main Menu>Design Opt>Method/Tool)指定最大迭代次數(shù)和最大合理設(shè)計(jì)數(shù)。如果給出了最大合理設(shè)計(jì)數(shù)，在達(dá)到這個(gè)數(shù)值時(shí)循環(huán)將終止，而忽略最大迭代次數(shù)是否達(dá)到。

　　隨機(jī)搜索法往往作為零階方法的先期處理。它也可以用來(lái)完成一些小的設(shè)計(jì)任務(wù)。例如可以做一系列的隨機(jī)搜索，然后通過(guò)查看結(jié)果來(lái)判斷當(dāng)前設(shè)計(jì)空間是否合理。

　　2.4 等步長(zhǎng)搜索法

　　等步長(zhǎng)搜索法[OPTYPE，SWEEP]用于在設(shè)計(jì)空間內(nèi)完成掃描分析。將生成n*NSPS個(gè)設(shè)計(jì)序列，n是設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)，NSPS是每個(gè)掃描中評(píng)估點(diǎn)的數(shù)目(由OPSWEEP命令指定)。對(duì)于每個(gè)設(shè)計(jì)變量，變量范圍將劃分為NSPS-1個(gè)相等的步長(zhǎng)，進(jìn)行NSPS次循環(huán)。問(wèn)題的設(shè)計(jì)變量在每次循環(huán)中以步長(zhǎng)遞增，其他的設(shè)計(jì)變量保持其參考值不變。設(shè)計(jì)序列中設(shè)計(jì)變量的參考值用OPSWEEP命令的Dset指定(Main Menu>Design Opt>Method/Tool)。

　　用下列方法圖示設(shè)計(jì)變量數(shù)值和響應(yīng)變量的數(shù)值關(guān)系：

　　Command: OPLSW

　　GUI: Main Menu>Design Opt>Tool Results>Sweeps

　　2.5 乘子計(jì)算法

　　乘子計(jì)算法[OPTYPE，F(xiàn)ACT]用二階技術(shù)生成設(shè)計(jì)空間上極值點(diǎn)上的設(shè)計(jì)序列數(shù)值。(這個(gè)二階技術(shù)在每個(gè)設(shè)計(jì)變量的兩個(gè)極值點(diǎn)上取值。)可以用OPFACT命令(Main Menu>Design Opt>Method/Tool)指定是完成整體的還是部分子的評(píng)估。對(duì)于整體評(píng)估，程序進(jìn)行2n次循環(huán)，n是設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)。1/2部分的評(píng)估進(jìn)行2n/2次循環(huán)，依此類(lèi)推。

　　可以用棒式圖和表格顯示目標(biāo)函數(shù)或狀態(tài)變量的某些方面。例如，可以圖示每個(gè)設(shè)計(jì)變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)的主要作用。用戶同樣可以查看兩個(gè)和三個(gè)變量之間的互相作用。

　　用下列命令顯示棒式圖：

　　Command: OPLFA

　　GUI: Main Menu>Design Opt>Tool Results>Factorial

　　2.6 最優(yōu)梯度法

　　最優(yōu)梯度法[OPTYPE，GRAD]計(jì)算設(shè)計(jì)空間中某一點(diǎn)的梯度。梯度結(jié)果用于研究目標(biāo)函數(shù)或狀態(tài)變量的敏感性。用下列方式指定在哪個(gè)設(shè)計(jì)序列計(jì)算梯度：Command: OPGRAD

　　GUI: Main Menu>Design Opt>Method/Tool

　　用戶可以用圖顯示設(shè)計(jì)變量和響應(yīng)變量的數(shù)值。縱坐標(biāo)表示目標(biāo)函數(shù)或狀態(tài)變量的實(shí)際數(shù)值。橫坐標(biāo)表示設(shè)計(jì)變量一個(gè)小的(1%)變化值。用下列方法列表表示結(jié)果：

　　Command: OPRGR

　　GUI: Main Menu>Design Opt>Tool Results>Print

　　3、本篇總結(jié)

　　本篇介紹了ANSYS優(yōu)化設(shè)計(jì)模塊集成的優(yōu)化設(shè)計(jì)算法的基本思想，對(duì)想要進(jìn)行學(xué)習(xí)和研究ANSYS優(yōu)化設(shè)計(jì)的人來(lái)說(shuō)，深刻的理解了這些算法才能更好的將優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)用于工程問(wèn)題的分析，并且能夠?qū)⒆约旱膬?yōu)化思想轉(zhuǎn)換成優(yōu)化算法集成到ANSYS平臺(tái)下，為自己的分析服務(wù)。