齒輪齒根應(yīng)力和輪齒變形的計(jì)算是齒輪設(shè)計(jì)和研究的基本問題。過去由于計(jì)算機(jī)的限制，許多研究和分析人員計(jì)算齒根應(yīng)力和輪齒變形時(shí)所用的模型為二維或三維等效輪齒模型，計(jì)算模型存在誤差，計(jì)算模型和結(jié)果的可靠性低，因此計(jì)算結(jié)果很難比較，特別是與試驗(yàn)結(jié)果不好比較，造成很多重復(fù)試驗(yàn)。所以有必要建立一個(gè)三維整輪齒根應(yīng)力和輪齒變形計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)，給齒輪設(shè)計(jì)和研究人員和CAE研究人員參考。使用高性能計(jì)算，現(xiàn)在能夠?qū)X輪三維整輪模型進(jìn)行仿真分析，精確計(jì)算齒輪齒根應(yīng)力和輪齒變形。本文對一個(gè)采煤機(jī)齒輪進(jìn)行了計(jì)算，計(jì)算是在曙光4000A超級計(jì)算機(jī)上進(jìn)行。

　　齒輪齒根應(yīng)力和輪齒變形的計(jì)算

　　表1為計(jì)算齒輪和加工刀具的參數(shù)，刀具為凸頭滾刀，齒頂高系數(shù)為1，齒輪配合的軸直徑(齒輪內(nèi)圓直徑)為90毫米。

表 1 計(jì)算齒根應(yīng)力齒輪參數(shù)

　　1 齒輪三維計(jì)算模型

　　載荷均勻或線性分布作用在齒頂，作用載荷大小設(shè)定為F = 100N/mm，不同工況總載荷大小一樣，齒輪內(nèi)圓固定約束。齒輪彈性模量E = 2.06e5 N/mm2，泊松比ν=0.3。

　　1.1 網(wǎng)格模型

　　圖1是計(jì)算齒輪實(shí)體幾何模型，由于齒輪齒根有應(yīng)力集中，應(yīng)該選擇三維二次等參單元，ANSYS軟件中使用單元SOLID95表示，齒輪整輪網(wǎng)格如圖2所示。整輪網(wǎng)格劃分分三部分，載荷作用輪齒扇、相鄰輪齒扇(左、右)和其余輪齒扇，每部分分輪齒和輪緣(輪幅)兩部分。載荷作用輪齒扇的輪齒部分(圖3)由于齒根網(wǎng)格密度高，因此其它部分網(wǎng)格密度高也相應(yīng)提高，輪緣部分周向網(wǎng)格密度最高(相對其它輪緣部分)。由于應(yīng)力主要集中在載荷作用輪齒扇局部范圍內(nèi)，因此與它間隔輪齒扇可以使用較稀疏的網(wǎng)格，相鄰輪齒扇的網(wǎng)格是載荷作用輪齒扇和間隔輪齒扇之間的過渡網(wǎng)格。其余輪齒扇中的各扇網(wǎng)格一樣，可以復(fù)制。所有輪緣部分徑向網(wǎng)格密度一樣，整輪網(wǎng)格齒向密度一樣。載荷分布作用在齒頂?shù)墓?jié)點(diǎn)上，載荷作用輪齒的網(wǎng)格和均勻分布載荷如圖3所示。單元網(wǎng)格三邊長度比例有一定要求。

圖1 齒輪實(shí)體三維幾何模型

 圖2 齒輪三維整輪網(wǎng)格模型

圖3 齒輪輪齒三維網(wǎng)格模型

　　1.2 計(jì)算時(shí)間和并行性能

　　齒輪計(jì)算模型有518940單元，2196347節(jié)點(diǎn)，共6589041自由度。計(jì)算工況為5個(gè)。計(jì)算時(shí)間在表2中，求解方法使用ANSYS的預(yù)條件迭代求解器。不同CPU數(shù)求解時(shí)間如圖4所示，2個(gè)CPU的加速比為2.17，4個(gè)CPU的加速比為3.22。ANSYS軟件共享內(nèi)存并行求解效率很高，不比分布式并行求解差，4個(gè)CPU的加速比可達(dá)3以上。

表2 多工況三維整輪齒根應(yīng)力有限元模型在曙光4000A上的計(jì)算時(shí)間

圖4 計(jì)算求解時(shí)間(CPU和墻鐘WALL時(shí)間)

　　2 齒輪齒根應(yīng)力

　　不同工況和偏載方式的最大齒根應(yīng)力計(jì)算結(jié)果在表3中，σf是受拉側(cè)最大齒根拉應(yīng)力(即最大主應(yīng)力σ1)，σC是受壓側(cè)最大齒根壓應(yīng)力(即最小主應(yīng)力σ3值)，表4是作用在齒頂?shù)?種載荷工況。圖5是均勻分布載荷受拉側(cè)齒根應(yīng)力齒向分布，σI =σ1 - σ3= 2tmax，為應(yīng)力強(qiáng)度等于2倍最大切應(yīng)力tmax，σE 為等效應(yīng)力。對于平面應(yīng)力或平面應(yīng)變，理論上σ1=σI ，實(shí)際上由于計(jì)算誤差不是絕對相等[2]。對于平面應(yīng)力，理論上等效應(yīng)力σE =σ1，而平面應(yīng)變，理論上等效應(yīng)力： 。根據(jù)圖5計(jì)算結(jié)果所知，齒輪在中部大部分(60%)都工作在平面應(yīng)變狀態(tài)，而在最端部工作在平面應(yīng)力狀態(tài)。最大應(yīng)力是在應(yīng)變狀態(tài)向平面應(yīng)力過渡處，離端部距離大約是齒長的五分之一(23%)處，端部應(yīng)力最小，只有最大應(yīng)力的65%，中部應(yīng)力比最大應(yīng)力略小(小1.73%)。工況2，三倍載荷均勻分布作用在齒輪齒面中間三分之一處，但齒根應(yīng)力僅增加2.1倍。工況3，三倍載荷均勻分布作用在齒輪齒面一端三分之一處，齒根應(yīng)力增加了2.65倍。工況4，一端二倍載荷線性分布作用在齒輪齒面上，齒根應(yīng)力僅增加1.63倍。工況5，一端三倍載荷線性分布作用在齒輪齒面上，齒根應(yīng)力增加2.23倍。

圖5 均勻分布載荷齒根應(yīng)力齒向分布

　　σ1為最大主應(yīng)力，σI =σ1-σ3 σE 為等效應(yīng)力

表3 不同載荷工況的齒根應(yīng)力及偏載系數(shù)

表4 5種載荷工況

　　3 齒輪輪齒變形

　　齒輪變形包括輪齒接觸變形、撓曲變形和本體變形。輪齒變形文獻(xiàn)[3]已經(jīng)研究，但是僅僅是二維等效模型。本文研究計(jì)算了輪齒撓曲變形和本體變形三維模型的影響，同時(shí)也計(jì)算了不同載荷工況和偏載荷下的齒輪輪齒撓曲變形和本體變形。圖6是工況1均勻分布載荷下的齒輪變形，u1是載荷作用輪齒對稱點(diǎn)載荷作用線方向的變形，u 2是與載荷作用輪齒載荷作用線方向相臨的輪齒對稱點(diǎn)的變形。因此u 2近似表示齒輪本體變形，u 1- u 2可定義為輪齒撓曲變形。計(jì)算結(jié)果表明，均勻分布載荷齒輪變形沿齒向分布有點(diǎn)變化，u1變化與齒根應(yīng)力一致，但幅度很小，u 1最大為5.461微米，最小5.321微米。u 2變化與u 1相反，，最大為1.460微米，最小1.444微米。因此齒輪輪齒變形撓曲為3.939微米，齒輪本體變形1.452微米。

圖6 均勻分布載荷齒輪變形齒向分布
u1為載荷作用輪齒對稱點(diǎn)變形，u2 為相臨輪齒對稱點(diǎn)變形

　　4 計(jì)算模型誤差分析

　　由圖2計(jì)算模型的離散誤差已經(jīng)很小，由圖5計(jì)算結(jié)果，根據(jù)最大主應(yīng)力和應(yīng)力強(qiáng)度之差，齒根應(yīng)力的計(jì)算誤差估計(jì)在3‰。ANSYS軟件計(jì)算的齒根應(yīng)力局部離散誤差僅為0.35‰，因此計(jì)算模型的可靠性很高，計(jì)算誤差肯定小于1%。另一方面，齒輪計(jì)算模型的約束假定與軸配合的內(nèi)圓為固定約束，實(shí)際上約束有多種，因而不同約束對齒根應(yīng)力和齒輪變形肯定有影響。這個(gè)影響對齒根應(yīng)力和輪齒變形肯定很小，對于輪緣厚度較大的，可以忽略(如本文)，但是是否小于1%，還需要進(jìn)一步研究。齒輪接觸載荷是假定為均勻分布或者線性分布作用在齒面上，實(shí)際上接觸載荷不是按照假定的理想分布，因此建立一對齒輪三維接觸仿真分析模型是重要的課題。

　　齒輪變形計(jì)算模型的離散誤差比齒根應(yīng)力小，計(jì)算誤差肯定小于1%，但齒輪變形齒向分布的變化可能要大于1%。本文均勻載荷齒輪本體變形齒向分布的變化是1.1%，總變形變化2.6%(圖6)，因此計(jì)算輪齒變形可能的誤差有1%左右。齒輪變形主要受彈性模量影響，彈性模量的誤差和隨機(jī)性，可能使得齒輪變形的誤差達(dá)到1-5%，需要進(jìn)一步研究。另一方面，齒輪變形(特別是本體變形)受齒輪本體結(jié)構(gòu)影響很大，本體結(jié)構(gòu)可能使得齒輪變形的誤差達(dá)10%以上[4]，但對輪齒變形影響較小，可能也會達(dá)到1%，因此也需要進(jìn)一步研究。同樣不同載荷分布齒輪變形沿齒向是變化的，需要建立一對齒輪三維接觸仿真分析模型。

　　結(jié)論

　　通過建立三維整體齒輪仿真分析模型，使用高性能計(jì)算機(jī)，可以精確計(jì)算齒根應(yīng)力和齒輪變形，計(jì)算模型的計(jì)算誤差肯定小于1%。 不同載荷分布下齒根應(yīng)力和輪齒變形的分布能夠精確計(jì)算，齒根應(yīng)力和輪齒變形的一個(gè)新的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)建立，三維模型對齒根應(yīng)力和輪齒變形的影響已經(jīng)顯示，齒根應(yīng)力和輪齒變形計(jì)算得到了進(jìn)一步發(fā)展，齒輪動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)、優(yōu)化設(shè)計(jì)、可靠性設(shè)計(jì)和CAE有了新的基礎(chǔ)。