摘要

骨小梁必須能夠承受日常行為和受傷時(shí)引起的載荷。由于骨小梁的高度多孔性和復(fù)雜結(jié)構(gòu)，并且這種多孔性和復(fù)雜結(jié)構(gòu)在不同的解剖部位和不同的個(gè)人之間，差異極大，因而研究骨小梁的機(jī)械特性非常具有挑戰(zhàn)性。雖然細(xì)觀有限元分析 (μFE) 是分析骨小梁機(jī)械特性的最常用的方法，但由于這些模型的尺寸很大，迫使研究人員使用自定義代碼和線性分析方法。Abaqus 的非線性功能可以對(duì)這些模型進(jìn)行有效分析，為重要的研究課題提供答案。

Abaqus 的主要功能和優(yōu)點(diǎn)

建立模擬骨骼組織機(jī)械特性的本構(gòu)模型
輕松求解幾何的和材料的非線性模型
支持并行求解

背景知識(shí)

骨小梁位于長骨（如股骨）的末端和立方骨（如脊骨）中，是人類骨骼中承載生物組織的主要生物組織。它的機(jī)械特性有很高的臨床價(jià)值和研究?jī)r(jià)值。增進(jìn)對(duì)骨小梁機(jī)械特性的了解，有助于深入研究骨骼的斷裂機(jī)理，也有助于評(píng)估年齡、疾病和藥物治療的影響。骨小梁是一個(gè)充滿孔洞的組織——脊骨中 85% 以上是孔洞，并有著復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，而且這兩者都因不同的人和不同的解剖部位而存在很大差異（參見圖 1）。因此，要用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法確定骨小梁的機(jī)械特性，就需要多個(gè)樣本的機(jī)械特性數(shù)據(jù)。
 

細(xì)觀有限元法 (μFE) 廣泛應(yīng)用于骨小梁機(jī)械特性的研究，包括在光譜水平和微結(jié)構(gòu)水平兩個(gè)方面的研究。這些模型是通過對(duì)骨小梁樣本進(jìn)行高分辨率成

像得到的，樣本被自動(dòng)劃分成元素為六面體的有限元網(wǎng)格（參見圖 2）。網(wǎng)格中所有的單元都完全一樣，一般尺寸在 50 微米。劃分網(wǎng)格后，一個(gè)邊長 5 毫米的立方體樣本的 μFE 模型一般具有 50 萬個(gè)自由度。與試驗(yàn)用樣本（8 毫米直徑和 15 毫米長）類似的骨骼樣本的 μFE 模型則有幾百萬個(gè)自由度。

圖 2：含有 44μm 單元的骨骼樣本中一塊邊長
2.5 毫米立方體的 μFE 網(wǎng)格圖

在過去，這些大量的問題會(huì)使許多研究人員不得不利用自定義代碼，一個(gè)單元一個(gè)單元地迭代求解。由于非線性有限元模型非常復(fù)雜，這些自定義代碼只限于線彈性分析。雖然線彈性有限元模型不能模擬骨骼受損情況，但是研究人員經(jīng)常利用它與試驗(yàn)數(shù)據(jù)校核，確定骨骼組織的彈性特性。然而，關(guān)于骨小梁非線性機(jī)械特性的許多問題還有待解決。
因?yàn)?Abaqus/Standard 能夠利用并行處理能力解決大型問題，包括復(fù)雜材料模型問題，所以它非常適合這類分析。在本技術(shù)簡(jiǎn)報(bào)中，我們利用 Abaqus/Standard 研究了幾何非線性在骨小梁機(jī)械特性中的作用。我們對(duì)一個(gè)具有四百多萬個(gè)自由度的模型進(jìn)行線彈性分析。通過檢驗(yàn)此分析的并行處理能力（也就是可伸縮性），我們展示了它求解大型問題的可行性。

有限元分析方法

利用顯微X線斷層攝影技術(shù) (μCT 20,Scanco Medical AG, Bassersdorf, Switzerland)，以 22 微米的分辨率，對(duì)容積率為 9% 的人類脊椎骨小梁樣本進(jìn)行成像（參見圖 1）。建立了兩個(gè) μFE 模型。首先，整個(gè)圓柱形樣本被劃分為大小 44 微米的六面體單元網(wǎng)格（參見圖 2）。然后，從圓柱體中心劃出一個(gè)邊長為
5 毫米的立體子區(qū)，建立另一個(gè)具有相同單元大小的模型。兩個(gè)模型的網(wǎng)格數(shù)量見表 1。
表 1：μFE 模型的網(wǎng)格數(shù)量

圓柱體模型被用來評(píng)定直接稀疏求解器的并行處理能力。在沒有摩擦的情況下，在頂面和底面應(yīng)用位移邊界條件，模擬 1% 壓縮應(yīng)變。分別用 HP rx8620 計(jì)算機(jī)中 1、2和4 個(gè) CPU 進(jìn)行線彈性分析。
利用邊長為 5 毫米的立方體模型進(jìn)行非線性分析。這個(gè)尺寸的立方體已大得足夠確定平面特性，同時(shí)又小得足夠確保非線性分析的可行性。骨骼組織模型是用鑄鐵塑性材料制造的。鑄鐵塑性材料在受到拉伸和壓縮時(shí)，其彈塑性狀態(tài)會(huì)有不同的屈服強(qiáng)度和硬化，因此會(huì)產(chǎn)生一個(gè)非對(duì)稱的單元?jiǎng)偠染仃嚒Ｒ虼耍枰褂梅菍?duì)稱存儲(chǔ)的并行稀疏直接求解器。樣本是一個(gè)彈性模量為 13.4Gpa，泊松比為 0.3 的組織。（參見參考文獻(xiàn) 2）根據(jù)人類股骨骨小梁組織的屈服應(yīng)變（參見參考文獻(xiàn) 3），鑄鐵塑性模型組織拉伸時(shí)的屈服應(yīng)力為 55.2MPa，壓縮時(shí)為 110.6MPa。在拉伸和壓縮時(shí)，使用的是相當(dāng)于彈性模量 5% 的硬化斜度。在無摩擦的位移邊界條件下，拉伸和壓縮采用了 2% 的公稱應(yīng)變。在這樣低的公稱應(yīng)變條件下，骨骼微結(jié)構(gòu)的自力接觸可以忽略。此外，每個(gè)模型都進(jìn)行了考慮和不考慮幾何非線性變形的模擬。總共進(jìn)行了四個(gè)非線性分析，為了進(jìn)行比較，還計(jì)算了平面屈服應(yīng)變。所有對(duì)立方體的分析都是在一臺(tái) IBM Power4 計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的，使用了兩個(gè) CPU。

結(jié)果和結(jié)論

利用 4 個(gè) CPU 對(duì)圓柱體模型進(jìn)行線性分析，用時(shí)不到 16 分鐘，占用內(nèi)存不到 11 GB（參見表 2）。表 2 還包括了平行直接求解器的計(jì)數(shù)結(jié)果；加速因數(shù)是根據(jù)求解時(shí)間得到的。對(duì)具有幾何非線性的立方體 μFE 模型進(jìn)行非線性分析，用時(shí)不到 7.4 小時(shí)，占用內(nèi)存 4.1 GB。每個(gè)非線性分析需要大約 100 個(gè)線性方程的解，這就強(qiáng)調(diào)了求解器可伸縮性的重要性。骨骼結(jié)構(gòu)中初始屈服點(diǎn)的定位使得非線性分析的收斂變得更加具有挑戰(zhàn)性（參見圖 3）。
表 2：6.4-3 版直接稀疏求解器性能

圖 3：在 2% 壓縮應(yīng)變情況下邊長為 2.5 毫米立方體的μFE 模型的骨骼結(jié)構(gòu)局部應(yīng)力分布圖
圖 4 是根據(jù)表觀應(yīng)變（樣本長度的變化/原始樣本長度）作出的表觀應(yīng)力（外力/橫截面面積（25 平方毫米））圖。初始屈服點(diǎn)定義為偏移量達(dá)到 0.2% 的點(diǎn)。與試驗(yàn)數(shù)據(jù)（參見參考文獻(xiàn) 4）類似，壓縮時(shí)的屈服應(yīng)變比拉伸時(shí)的大。
表 3：不同模型組合的屈服應(yīng)變

圖 4：四個(gè)非線性分析的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系圖幾何非線性在壓縮時(shí)引起軟化，拉伸時(shí)引起硬化標(biāo)記顯示由 0.2% 偏移量方法（點(diǎn)劃線）確定的初始屈服點(diǎn)

雖然組織材料在硬化，但當(dāng)考慮幾何非線性時(shí)，很明顯地觀察到有軟化發(fā)生（參見圖 4）。另外屈服應(yīng)變與試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果類似，特別是壓縮的情況下（參見參考文獻(xiàn) 4）。這些結(jié)果表明在拉伸和壓縮時(shí)骨小梁組織有著不同的屈服特性，應(yīng)該把 μFE 模型和幾何非線性結(jié)合起來，精確地模擬骨小梁的平面屈服特性。